Demostración de derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

A continuación vamos a demostrar las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivada de la función logarítmica

Tenemos una función $\,f(x)=\log_a x$ , por la definición de derivada:

$\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h \to 0}\frac{\log_a (x + h) - \log_a x}{h}$

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

$\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h \to 0}\log_a \left(\frac{x + h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} = \lim_{h \to 0}\log_a \left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}$

Que podemos trasformar en:

$\begin{align} \frac{d}{dx}\log_a x &= \lim_{h \to 0}\log_a \left[\left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\right]^{\frac{1}{x}} \\ &= \frac{1}{x}\lim_{h \to 0}\log_a \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\\ &= \frac{1}{x} \log_a \left[\lim_{h \to 0} \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\right] \end{align}$

Como si $\,h$ tiende a cero $\frac{x}{h}\,$ tiende a infinito, podemos hacer el siguiente cambio de variable:

$\lim_{h \to 0} \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}} = \lim_{y \to \infty} \left(1+\frac{1}{y}\right)^y$

Y por la definición del número e, tenemos que:

$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x} \log_a (e)$

O, lo que es lo mismo:

$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln(a)}$

En el caso particular del logaritmo natural:

$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$

Ya que $\,\ln e = 1$ .

Derivada de la función exponencial

Partimos de una función exponencial $\,f(x)=a^x$ . Vamos a usar la derivada de la función inversa:

$[f^{-1}]^{\prime}(a)=\frac{1}{f^{\prime}[f^{-1}(a)]}$

Dado que $a^x\,$ y $\log_a x \,$ són funciones inversas, tenemos que:

$\begin{align}\frac{d}{dx}a^x &= \frac{1}{[\frac{1}{x} \log_a (e)] \circ [a^x]}\\ &= \frac{1}{[\frac{1}{a^x} \log_a (e)]}\\ &= \frac{a^x}{\log_a (e)} \end{align}$